一題三角和圓(誤入歧途)

Posted: 2011 年 09 月 04 日 in 數學

今天在玩一題數學題目,和三角、圓有關,如下:

若有一正 k 邊形,其頂點依序為 ABCD、…

且滿足 \frac{1}{\overline{AB}}=\frac{1}{\overline{AC}}+\frac{1}{\overline{AD}}

k 為多少?

一開始還做不出來,和人家聊了一下,得到關鍵提示托勒密定理了,一語驚醒夢中人,咻得一聲便結束。

但心中還是有些不干,因為和原先的做法不同方法,原先的方法也沒有道理做不出來才對。

方法是這樣:將三線段長以正弦函及外接圓半徑表示,可化簡得 \cos\frac{\pi}{k} 為一個三次多項式的根。

但是要從多項式看出 k 又很困難。便在此停了下來。 之後做出答案後,心有不干回去繼續硬搞,把 \cos^3\ \cos^2 都換成三倍角、二倍角來表示, 和差化積,總算弄出個樣子 \sin \frac{\pi}{2k}\cos\frac{\pi}{k}\sin\frac{3\pi}{2k}=\frac{1}{8}  這 \frac{1}{8} 卻是令人印象深刻,記得當年正是做過某道三角函之題目,和這樣子十分相像。

憑這印象自然弄出當年的題目: \cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}\cos\frac{8\pi}{7}=-\frac{1}{8}。 做法是這樣,乘一個 \sin \frac{2\pi}{y} 然後倍角…再除掉,一切迎邊而解。

有趣的是,有人告訴這和分17頭羊的故事」。的確先一頭羊來,1/2 1/3 1/9 邊可分了,分完後再還一頭羊回去, 分毫不差,有借有還,再借不難。

只不過我們是借了一個 \sin 而已。 最後,透過餘角和補角,比對兩個式,終於可以試出 k=7 了,辛苦了這麼久,總算是算出來了, 這就放著好好的托勒密定理不用,走進邪魔歪道、誤入歧途的後果。

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