有理化

Posted: 2011 年 09 月 11 日 in 數學

今天看到一題:請將 \frac{1}{\sqrt[3]{4}+5\sqrt[3]{2}+1} 有理化。

(答案以 a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4} 表示,其中 a,b,c \in \mathbb{Q})

這簡直莫名其妙!不過上面那行其實就是提示,怎麼說…

就令 \frac{1}{\sqrt[3]{4}+5\sqrt[3]{2}+1}=a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4}

分母把它乘過去,比較三個係數,得三條聯立方程式,解完就完工了,哈~哈~~

即以下

5a+b+2c=0\\    a+5b+c=0\\    a+2b+10c=1

第一行減兩倍的第二行得 a=3b, 代回去就有 c=-8b

兩個代入第三行 b=\frac{-1}{75},\ a=\frac{-3}{75}\ c=\frac{8}{75}

因此就有答案了 \frac{1}{\sqrt[3]{4}+5\sqrt[3]{2}+1}=\frac{-3-\sqrt[3]{2}+8\sqrt[3]{4}}{75}

其實這招不只在這裡用,記得在微積分中,計算一些不定積分時候也有用處有,

像是 \int e^{-5x}\sin x 有分部積分經驗的人,都知道出來會長什麼樣子,

就可用那個樣子,去微分然後比較係數得聯立方程,你說是不是很像啊?

其它的印象在有根號二次式的地方,也有類似的東西…想不起來… 就先作罷吧!

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  1. […] 其中第三題有理化有點煩,取巧的作法可見 另一篇 ,或文末詳解。 […]

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