幾題練手的題目

Posted: 2011 年 09 月 12 日 in 數學

1.方程組 x(x+1)(3x+5y) \\    x^2+4x+5y=24,求數對 (x,y)

解:令 x^{2}+x=\alpha,\ 3x+5y=\beta\alpha+\beta=24,\ \alpha\beta=144\Rightarrow\alpha=\beta=12

x^{2}+x-12=0\Rightarrow x=3-4\Rightarrow(x,y)=(3,\frac{3}{5}) 或 (-4,\frac{24}{5})

2. f(x)=\frac{a^x}{a^x+\sqrt{a}},則 f(\frac{1}{2004})+f(\frac{2}{2004})+\ldots+f(\frac{2003}{2004})

解:\frac{a^{x}}{a^{x}+\sqrt{a}}+\frac{a^{1-x}}{a^{1-x}+\sqrt{a}}=\frac{2a+\sqrt{a}(a^{x}+a^{1-x})}{2a+\sqrt{a}(a^{x}+a^{1-x})}=1,因此所求 =\frac{2003}{2}

3. 有一數列 \{a_{n}\} a_{1}=1, a_{n+1}>a_{n},且 a_{n+1}^{2}+a_{n}^{2}+1=2(a_{n+1}a_{n}+a_{n+1}+a_{n})S_{n} 為前 n 項之和,求 \lim_{n\to\infty}\frac{S_{n}}{a_{n}}

解:(a_{n+1}-a_{n}-1)^{2}=4a_{n}\Rightarrow a_{n+1}=a_{n}+1+2\sqrt{a_{n}},負根與遞增且首項為 1 矛盾。

\Rightarrow a_{n+1}=(\sqrt{a_{n}}+1)^{2}\Rightarrow\{a_{n}\}=\{n^{2}\}\Rightarrow S_{n}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

\lim_{n\to\infty}\frac{S_{n}}{na_{n}}=\frac{1}{3}
小評:1.這類的方程式,常常都是做特殊代換,方程式對稱的常是 x+y, x-y,不對稱的只能多觀察。
2.這無法直接算,只能找關係了。
3.遞迴關係常常化簡之後才會漂亮,有時候可能不是化出原數列的關係,而是所求的遞迴關係。
就這樣吧…

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迴響
  1. 米洛 說道:

    有時候寫多了就會變成反射動作解題,超沒有思考數學的FU…..OTZ

  2. 寸絲 說道:

    是指第一題嗎?還是令有所指?

  3. 路過的壞人 說道:

    怎麼感覺除了第一題外, 其他沒看過要解出來也太噁心了吧

  4. 寸絲 說道:

    我承認,第二題的確比較噁心,
    之所以做得出來,好像是以前看過類似的手法…
    不知道是不是同一題就是了

    但是第三頭應該還好,很自然地就配方,然後就那樣了。
    想想其實也算正常,沒道理亂出一個二次方的遞迴式。
    不然你直接判別式硬暴看看,我想答案還是會弄出來。

    話說 98附中的教甄第 4 題也是同一掛的題目
    http://math.pro/db/thread-735-1-11.html

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