98師大附中數學教甄

Posted: 2011 年 09 月 23 日 in 教甄, 教甄98, 數學
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http://math.pro/db/thread-735-1-11.html

這份題目好難寫…

第二題幾何的東西,我真的退化到做不出來了

請參考 老王的部落格

第六題的方法是從 老王的部落格 看來的,又學一招了。

硬分解,湊出那個型,真是妙招…平常只會一些很明顯的型而已,這裡這樣玩,著實好玩…

第八題,差和分 Telescoping series 硬幹,應該沒人像寸絲這樣吧?

數學補給站 bugmens 排列組合的方法,顯然比在下高明。

就這樣了

解答 更正,第八題是孟氏定理而非西瓦。

—————————————————–

最近第六題這類的題目玩出新招了…

將一多項式的根,代入另一多項式相乘,如果用根來表示的話即是 \prod (\alpha_i-\beta_j) 再乘上一個正負號及常數。其中 \alpha_i,\beta_j 皆別為兩多項式的根。

讓常數由首數係數決定,正負號則由多項式的次數決定。

所以可以改成將次數小 x^2-x-1=0 代入次數大的。

x^{12}+7x^{11}+1 = (x^2-x+1)q(x) - 7x +9.

所以所求等於 (-7\beta_1+9)(-7\beta_2+9) = 49\cdot(\frac{81}{49}-\frac{9}{7}+1)=81-63+49=67.

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迴響
  1. 匿名 說道:

    \displaystyle \begin{align}   & \ \ \ \ f(x)=\prod\limits_{i=1}^{12}{(x-{{x}_{i}})} \\   & \ \ \ \ \prod\limits_{i=1}^{12}{({{x}_{i}}-\omega )({{x}_{i}}-{{\omega }^{2}})}\ ,\ where\ \ {{\omega }^{3}}=-1 \\   & =\ f(\omega )f({{\omega }^{2}}) \\   & =\ (1+7{{\omega }^{2}}+1)(1+7\omega +1) \\   & =\ 53+14\ =\ 67. \\  \end{align}

    [寸絲留 2012.7.17]
    數學環境,似乎沒有支援,只能使用 inline mode
    以下是寸絲,將上面的數學符號顯式出來

    f(x)=\prod\limits _{i=1}^{12}(x-x_{i}), where \omega^{3}=-1.

    \prod\limits _{i=1}^{12}(x_{i}-\omega)(x_{i}-\omega^{2})=f(\omega)f(\omega^{2})=(1+7\omega^{2}+1)(1+7\omega+1)=53+14=67.

  2. 寸絲 說道:

    基本上,樓上的方法,是文中檔案是相同的,只是檔案中,多用了餘式定理去計算 f(\omega),不過既然 \omega-1 的三次方根中的虛根,其實就沒有必要用到餘式定理了

  3. Superconan 說道:

    寸絲大大您好:
    想請問解答第8題中的第三行
    「且當 x=0 時 x(x+1)(x+2)(x+3)…(x+k-1)=0」
    這行跟上一個式子「k(x+1)(x+2)(x+3)…(x+k-1)」有關嗎?
    我苦思很久,一直不了解此行的意義

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