一題不等式

Posted: 2011 年 09 月 25 日 in 數學

試證 \prod\limits_{k=1}^{n} \frac{2k-1}{2k}< \frac{1}{\sqrt{2n+1}}

證1:(\prod\limits_{k=1}^{n} \frac{2k-1}{2k})^2< \prod\limits_{k=1}^{n} \frac{(2k-1)^2}{(2k)^2-1}
然後平方差,消光光,得到平方後 < \frac{1}{2n+1}。開根號得證。

證2:補上奇數項 \prod\limits_{k=2}^{2n+1} \frac{k-1}{k}=\frac{1}{2n+1}

偶數項小於奇數項,所以偶項之積小於 \frac{1}{\sqrt{2n+1}}

如果只處理後面,留下前幾項,不動,可以得到更好的估計。

法2 中偶前奇後配對,所以是估到小於的。

也先拿掉第一個偶項,然後奇前偶後,就可以估計下界,再補上第一個偶項。

即如下:

\prod\limits_{k=2}^{n} \frac{2k-1}{2k} >\sqrt{\prod\limits_{k=3}^{2n} \frac{k-1}{k}}=\sqrt{\frac{1}{n}}

所以得 \prod\limits_{k=1}^{n} \frac{2k-1}{2k}> \frac{1}{2\sqrt{n}}

廣告
迴響
  1. 路過的壞人 說道:

    因為打錯題目解出XD

發表迴響

在下方填入你的資料或按右方圖示以社群網站登入:

WordPress.com Logo

您的留言將使用 WordPress.com 帳號。 登出 / 變更 )

Twitter picture

您的留言將使用 Twitter 帳號。 登出 / 變更 )

Facebook照片

您的留言將使用 Facebook 帳號。 登出 / 變更 )

Google+ photo

您的留言將使用 Google+ 帳號。 登出 / 變更 )

連結到 %s