井水不犯河水

Posted: 2011 年 09 月 28 日 in 數學

前幾天在  ptt math 版,看到學弟們受高微催殘(雖然不見得是我的學弟)

內容就是一堆符號,誰是井水,誰是河水傻傻分不清…

言者諄諄,聽者藐藐,抄下來的筆記自然像是天書一樣。

內容令人難以入眼。只好憑空想像:大概是怎麼一回事,以下為想像

在證實數學完備性的時候,用遞增有理數列建構(定義)實數。

用共同上界的方式來定義實數等於、大於、小於。

如此要證實數完備性就是證遞增有上界實數列,有上確界(實數系中)。

然後就拿一個遞增有上界實數列,每個實數又是一個遞增有上界有理數列。

於是似…玩一些操作(當然要用要大於的定義),從那一群有理數中,有技巧地取一個有理數列。

最後就證那個有理數列,遞增有界是上界,而且比任何上界小。就完工。

問題是「言者諄諄,聽者藐藐」,上課必然有聽沒什懂,筆記也不會抄下,像我寫的這些東西。

事情就是,看筆記時,一堆符號…一時也分不清哪邊是井水(有理數)哪邊是河水(實數),要順著邏輯,才看分得清楚。

符號好好寫,希臘字母和英文區分實數世界和有理數世界,那就完結了啊。

其實標題應該換成「井水大戰河水」才對,記得之前線性代數的學生進到向量空間,就開始莫名其妙的河水、河水會流,問問題的時候,句子本身就是一個問題。舉一個最近在 math 版看到的類似敘述:二維向量空間中存在一個三角形ABC。這莫名其妙麻,向量空間裡哪來的三角形,明明就是歐氏空間。傻傻分不清,把向量空間當歐氏空間,向量空間沒有內積,或是內積空間其內積另有定義,然後可能就自己莫名其妙地仿歐內積算得很高興…然後問你為什麼這樣算不對…簡直莫名其妙。

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