十一月, 2011 的封存

97高雄聯招數學教甄

Posted: 2011 年 11 月 23 日 in 教甄, 教甄97, 數學
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97年高雄市立高級中等學校聯合教師甄選數學

1題,極坐標

3題,令 y/x =t

4題,令 t = [x-1/2]

5題,絕對值畫圖,先畫半邊再用對稱,

畫半邊時,再畫半邊的半邊…

6題,猜都猜得極值什麼時候發生

7題,玩向量伸縮

9題,數字好醜

10題,也可以用積分的上和來做

解答

97台南二中數學教甄

Posted: 2011 年 11 月 22 日 in 教甄, 教甄97, 數學
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97年台南二中教師甄試數學試題

填1,因為數字醜,困住了寸絲好久,是否有更妙的招數呢?

填2,難得不是正四體的四面體…哈~~

填4,x^5 -1 =(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)…好像常常在玩

填6,旋轉,其實如果不轉也行,可以設一條平行切線,代入判別式的切線,

然後就是兩平行直線的距離了。不過這樣做有個風險,如果曲線和直線相交,就會算錯…

填7,畫張圖,注意對稱的關係。

填8,無聊的式子…列這麼長…

填9,這題有無限多解,感謝壞人幫寸絲找到一條好算的直線。

填12,費氏數列又來了,稍微換一下,然後裂項相消。

填13,有一件小事要注意,就是合併之後的資料,是否該當它是樣本呢?

如果把它當樣本,那它是誰的樣本,A B 兩校和併?但這樣這樣本就不好了,有失公允。

所以還是以一般標準算好了…不減 1 了

計証1,中央極限定理 + 常態分配

計証2, 33..3344..44^2

計証3,真是很愛費氏數列。

解答

97臺中高工數學教甄

Posted: 2011 年 11 月 17 日 in 教甄, 教甄97, 數學
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97年國立臺中高級工業職業學校_數學科

第3題,公佈的答案有等號,個人認為沒有等號。

當然,那可能沒有很重要。只是覺得是不多項方程,通常不談重根那件。

就好是 \sqrt{x}=0

19題,出錯了?忘了給範圍?

計算1,遞迴數列、數學歸納法。

解答

97竹北高中數學教甄

Posted: 2011 年 11 月 17 日 in 教甄, 教甄97, 數學
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題目

第1題,不難,但是算得時候,算了和法向量的夾角,不小忘了取餘角了

第2題,這個遞迴,應該有簡單的解法吧?一定要用特徵值嗎?

第5題,不小心眼殘,看錯題目…

第10題,算有意思的一題,花了一點時間,還是沒能弄成個幾何的作法…

應該說是沒有頭緒…只好動用解析坐標化,一切暴力。

解答

97師大附中數學教甄二招

Posted: 2011 年 11 月 17 日 in 教甄, 教甄97, 數學
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97年國立台灣師大附中教師甄選暨代理教師甄選數學試題

這份題目,給寸絲的感覺是蠻有趣的。

填2,有趣不難的題目

填5,要保持腦袋清楚,不然就會不小心漏算了

填8,這類的題目,寸絲好像會做了?

填10,不難,感覺很新鮮。

填13,這題做過了,是不是 TRML 裡的?

填15,難題,好像有很多種做法見 mathpro 討論帖

計算3,好妙的化簡,其實會不會就是 3 次雙重根號的化簡?

解答

97中興高中數學教甄

Posted: 2011 年 11 月 16 日 in 教甄, 教甄97, 數學
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97年國立中興高級中學第1次教師甄選數學科題目

這份題算是非常好寫…

當然也有一些意外,

像是填充第四題。請看 mathpro 的討論串

第八題,再來就是 90% 的信賴區間,寸絲從來沒記過是幾個標準差…

其它 nothing to say

解答

一題遞迴,兩個妙解(筆記)

Posted: 2011 年 11 月 14 日 in 數學

最近被問了一題題目如下:

a^{2}-3a+1=0,求 a^{2^{2007}}+a^{-2^{2007}}

正解: a^{1}+a^{-1}=3, a^{2}+a^{-2}=3^{2}-2=7, a^{4}+a^{-4}=7^{2}-2=7.

a^{2^{n+1}}+a^{-2^{n+1}}=(a^{2^{n}}+a^{-2^{n}})^{2}-2,\, \ldots7.

另解:說起另解,就要說說那天的事。

那天被問了這題之後,那人又補了一句「有算出 a^2 是黃金比」。

就讓寸絲腦中閃過平方的想法,消失了,取而代之的 Fibonacci 數列。

結果是 a 是黃金比的平方。

\lambda_{1}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}, \lambda_{2}=\frac{1-\sqrt{5}}{2},則 a=\frac{3+\sqrt{5}}{2}=\lambda_{1}^{2}, a^{-1}=\lambda_{2}^{2}

b_{n}=\lambda_{1}^{n}+\lambda_{2}^{n}, 則 b_{0}=2, b_{1}=1

所求 a^{2^{2007}}+a^{-2^{2007}}=\lambda_{1}^{2\cdot2^{2007}}+\lambda_{2}^{2\cdot2^{2007}}=b_{2^{2008}}

只看個位數 \{b_{n}\mbox{ mod }10\}=\{2,1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2,1\}\Rightarrow 12 個環循。

2^{2008}=4^{1004}, 而 4^{2}=4 mod 12

所以 4^{1004}\equiv4^{1003}\equiv\ldots\equiv4 mod 12

所以 b_{2^{2008}} 的個位數和 b_{4} 相同為 7

另解雖然費了一番功夫,但是 指數部分不需要 2 的 冪次,任次正整數都可以用。

花一番功夫,還是有代價的。不過這樣的遞迴數列的循環節也有可能很大(1~100),

像是從另解的也可衍生出 x_{n+2} = 3 x_{n+1} - x_{n} 的遞迴方式,

但是稍微寫了一下,還寫不出循環節,就放棄了…

97潮州高中數學教甄

Posted: 2011 年 11 月 13 日 in 教甄, 教甄97, 數學
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97年國立潮州高中教師甄試數學科專業試題

第4題,如果該切線沒有和長短軸平行,就得用光學性質了。

第5題,這題不難,但是寸絲覺得這方法蠻有意思的

是用交錯修正,有點像牛頓法的感覺。

第6題,這題也不難,只是要花點時間算

第7題,相數相加,真數相乘,然後就是 cos 連乘積,補上一個 sin

第9題,基本題,用偏微應該是最快的了吧?

解答

97南港高工數學教甄

Posted: 2011 年 11 月 12 日 in 教甄, 教甄97, 數學
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題目

第1題,牛頓定理,再加點技巧會更快

第4題,凸函數不等式,可以秒殺…但還是假裝不會一下好了…

第8題,利用不變量,知道 x^2,\, y^2  的系數相加為 0,然後硬暴。

高招請參見 全教會 馮的方法(連結失效)

漸愧,圓錐曲線族的方法寸絲腦中也曾閃過去,但是沒細想下去。

第9題,請看與微之書:…微之,微之,不見足下…。

微下去就對了

解答

97台北縣聯招數學教甄

Posted: 2011 年 11 月 12 日 in 教甄, 教甄97, 數學
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題目(已失效)

第2題,線性變換,硬暴…比較好的方法請見此篇

第4題,簡單的證明,應該是可以直接微。但是透過平移會很漂亮。

第5題,這極值不難算,但這裡寸絲玩算幾不等式,應該也有其它高招吧

第7題,畫圖說故事…

解答