101台中女中數學教甄一題(填充11)

Posted: 2012 年 05 月 09 日 in 教甄, 數學

題目

填充11題:設有 m 個互不相同的正偶數和 n 個互不相同的正奇數之和為 2012,則 5m+12n 的最大值為 _____。

之前有人問寸絲這題,算一算,算了 579,但公布的答案是 580

先前礙於試題未公布,想說也許題意記錯或漏了什麼敘述,就沒有深入追討它了

不過現在,有題目了就可來分析一下,這個答案可能嗎?是否合理?

先解 5m+12n=580 的非負整數解

m 8 20 32 44
n 45 40 35 30

… 後面還有好幾組解,考慮這些情況下的最小正奇偶數和,

最小 m 個正偶數和為 2+4+\ldots +2m=\frac{2m+2}{2}\cdot m =m(m+1)

最小 n 個正奇數和為 1+3+\ldots +(2n-1)=\frac{2n-1+1}{2}\cdot n =n^2

代數字 (8,45):8\cdot 9 +45^2=2097,   (20,40): 20\cdot 21 +40^2= 2020

(32,35): 32\cdot 33 +35^2=2281 ,   (44,30): 44\cdot 45 +30^2=2880

後面 m 更大的,光偶數和就超過了 2012 了。也就是說 580 根本不在值域之中。

而之前湊一湊,最多湊出了 579。現在用類似線性規劃的方式,來估計一下上界

目標函數 5m+12n, 可行解區域 m^2+m+n^2\leq 2012m,\, n 為非負整數

如果先不管整數的條件,在剛好直線 5m+12=k 與圓 (m+\frac{1}{2})^2+n^2=\frac{8049}{4} 相切時,有最大最小值

計算切點(最大的) \frac{\sqrt{8049}}{2}\cdot(\frac{5}{13},\frac{12}{13})+(-\frac{1}{2},0)=(-\frac{1}{2}+\frac{5}{26}\sqrt{8049},\frac{12}{26}\sqrt{8049})

代入目標函數得 -\frac{5}{2}+\frac{13}{2}\sqrt{8049}\approx 580.7

回問題,是格子點的線性規劃,因此必小於上述之值,而 580 已證明不可能了,

579 則可找到 (m,n)=(15,42) ,最小奇偶數和為 15\cdot 16 +42^2=2004

再將其中最大的奇數或偶數,換成比它大 8 的數字,即得和為 2012

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