101師大附中數學教甄

Posted: 2012 年 05 月 13 日 in 教甄, 數學
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(原文 po 於 mathpro,搬來記錄一下)

熱騰騰的考題剛出爐,先 po 一下計算證明的部分,其它晚點應該會公佈

101 師大附中計算證明題,除第三題,兩小題各 5 分外,其餘每題 9 分

二. 計算證明題 (除第 3 題兩小題各 5 分外,其它每題 9 分,共 64 分)

1. a>0, b>0, \theta 銳角,求 \frac{a}{\cos\theta}+\frac{b}{\sin\theta} 的最小值。

2. \triangle ABC 中, G 為重心。直線 LG\overline{AB}\overline{BC} 分別交於 MN\overline{BM}=p\overline{BA}, \overline{BN}=q\overline{BC},求 pq 最小值。

3. a_{1}=2, a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_{n}+\frac{1}{a_{n}}), for n\geq1

(2). 證明 \lim\limits _{n\to\infty}a_{n} 存在。

(2). 證明 \sum\limits _{n=1}^{\infty}(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1) 收斂。

4.  A_{n\times n}=[a_{ij}], B_{n\times n}=[b_{ij}],其中 b_{ij}=\sum\limits _{k=1}^{n}a_{ik}-a_{ij}\det A=a, 求 \det B (以 a 表示)。

5. 求 \sum\limits _{n=1}^{10}\left[\frac{x}{n!}\right]=2012 的所有正整數解。

6. 求兩小於 1 的正數,其和小於 1,其積小於 \frac{2}{9} 的機率。

7. P(a,b)x^{2}+y^{2}=5 上,求滿足 \log_{2}(b-a)-\log_{8}(3b-5a)=0 的所有點 P

以上,題號序應該沒錯,而敘述也大概接近原本的文字,如有錯誤,還請指正

PS:感謝一起幫忙回憶的夥伴們^^

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怨念篇:填充第二題,在考場裡的時候,雖然沒做出來,但也弄了一個 “不合法" 的特殊化

那時候,把 C 點放在 B’ 的正上方,然後令 BD=AC=8

ABDC 變成平行四邊形, M 是中心, DM 是一半的高,得到一樣的式子

不過以上還沒結束…因為響鈴的時候,才發現 D 點跑出三角形外了

於是乎,在回程的路上,才仔細思索,想到了從外接圓著手

不過在路上,沒有紙筆畫圖,自然還看不出關係

於是又弄了一個特例,把 C 點沿著那個弧搬到 D

不要這個特例更犯規… 移動的過程,都符合題意的條件…但最後合在一起角度不見了

不過那時,姑且假設它是個不變量。所以 C, D 重合  △ ADB  是直角三角形

DM=\frac{1}{2}DB,最後當然還是一樣的式子和答案

直到那個正當的做法(見此),做出來後,才消除了怨念,才可以安心地入眠。

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