99建國中學數學教甄

Posted: 2012 年 06 月 16 日 in 教甄, 教甄99, 數學
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題目

一、填充題

1. 2^{16}+2^{19}=(3\cdot 2^8)^2, 該完全平方數為 k^2,再加平方差分解得 (k+768)(k-768)=2^n,
k 為奇數,n 必為 0 不合。如此可推至 2^8\mid k

2. 由 a_{44} 可算出公比 r 再推出所有公差,而S 是一個差比級數

3. 不旁設 a=1, 矩形長寬是 x,\, y, 由相似形可解出 x=\frac{b^{2}}{b^{2}+b-1}, y=\frac{b^{2}-b}{b^{2}+b-1} 所以 m=\frac{y}{b}=\frac{b-1}{b^{2}+b-1}

4. 可以去看看數學傳播-函數 y=a^x 與 y=log_a x 的圖形交點個數的探索

http://w3.math.sinica.edu.tw/media/media.jsp?voln=284

5. H^n_{10}=C^{n+9}_{10}

而 C 的關係可由 (1+x)^{n+9}=(1+x)^9(1+x)^n 的展開式得到

6. 以極坐標寫之可得 r=6(1+\cos\theta),

利用餘弦定理可計算曲線到 (8,0) 之距離平方 d(\theta)^{2}=-60(\cos\theta+\frac{1}{5})^{2}+\frac{512}{5}

再分兩個區間裡,使得在各別區間中 d 有單調性可以計算交點數了

7. 貝氏定理

8. 壓扁成圓就是正三角,就拉回來

9. 令 x=\cos\frac{2\pi}{7}+i\sin\frac{2\pi}{7}, 則 x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0y=x+\frac1x=2\cos\frac{2\pi}{7}

y 滿足 y^3+y^2-2y-1,然後慢慢勘根吧

計算 1. a_{n+2}=3a_{n-2}+2a_{n-1}, 特徵值 3,\,-1

計算 3. 平面 E 包含 LP, 所求圖形即 E 和球面 S 的相交(扣除 P)

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