99高雄高中數學教甄

Posted: 2012 年 06 月 20 日 in 教甄, 教甄99, 數學
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題目,感謝網友 八神庵 記下多數的題目

這份題目有很意思,難度頗高

1. 只看第 n 次是否轉彎(n=2,3,4,\ldots,18),其轉彎的機率是 p=\frac{9}{17},則所求 =17p=19

2. (甲) 換底公式,倒數跑去分子 (乙) 取 \log 再用 (\log 2+\log 5)^3=1+3\log 2\log 5+(\log 2)^3+(\log 5)^3

3. k^4=k^4-1+1

4. 看不太懂題目,也許是原意不太好表達,總之應該就是用奇函數和共軛。

5. 如果有記 \tan\frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1+\cos x}=\frac{1-\cos x}{\sin x} 虛除以實,再用餘角

6. 將 x=0,\,1,\,2,\,3 依序代入

8. 甲. 應該是漏了條件 a_n 正整數且遞增,可參考 99彰化藝術 某題
乙. 矩陣特徵值

9. 分點公式,算幾不等式

11. 坐標化,用向量算一算,是新三邊與原三邊平行,長度 \frac13

12. V=ab\sqrt{R^2-\frac{a^2+b^2}{4}} 算幾 a^2+b^2\geq 2ab,把 ab 乘進根號裡再算幾

13. 沒敢動筆,被唬住了,請參考 mathpro 討論串

99師大附中數學教甄

Posted: 2012 年 06 月 18 日 in 教甄, 教甄99, 數學
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題目

以下是高中部填充題

1. 算球心到弦中點的距離

4. \cos \frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}

6. 拿後九個數去柯西

7. 令 x=t\frac1t 代入解聯立

10. 其實寸絲不知道為什麼公布答案寫 20 亦給分?!

不虧是創下傳說分數的一份試題

99萬芳高中數學教甄(代理)

Posted: 2012 年 06 月 18 日 in 教甄99, 數學
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題目

填充題

4. ab=1

5. 令 t=\log_{a}x=\log_{b}y=-\frac{\log_{c}2}{2}

6. 考慮函數圖形 y=10-x, y=10^x, y=log x

7. 每次總和增加 a_1-a_6

8. 見縫插針

9. 車子先選司機,3!\cdot 3^3 再扣除超過四人之情形

12. \triangle ABD 等腰三角形

14. 三垂線定理

17. 考慮橢圓 \frac{(x+1)^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1y=\sqrt{3} 的交點

99桃園農工數學教甄

Posted: 2012 年 06 月 17 日 in 教甄, 教甄99, 數學
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題目

1. 正弦、餘弦、兩倍角

2. 分 3x+4>10<3x+4<1 討論

3. 兩直線相交,頂點 (1,-2), 與 x 軸交於 (1\pm3,0), 代入 y=c(x-1)^2-2

4. 選定 36 個數排前 36 個,則其中最大的必放第 36,第二大的必放第 16。

6. (\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2})^100 的實部

7. 直的亂加,用 a+b+c=-2 換掉

8. 解得 3^{\sqrt{4a+7b+5c}}=9729

99萬芳高中數學教甄

Posted: 2012 年 06 月 17 日 in 教甄, 教甄99, 數學
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題目

1. 令三邊 3t,\,4t,\,5t 算面積

2. 漏了 a_n>0 的條件了吧,判別式為 0

3. 配方,距離和

4. 把 D 繞著某點轉 90^\circ

5. 排隊,見縫插針

6. 重覆組合,扣掉不合的

7. 二項式定理 (7\pm1)^{99}

8. 考慮斜率為 -1 的兩切線距離

9. 兩切兩條,還有一條平行對稱軸

10.  配方,柯西不等式

11.  配方 (x-y-1)^2+2(y-6)^2=102

12. 其一焦點對切線對稱,和另一焦點連線線段長即為長軸長

13. EX^2=Var X+(EX)^2

14. 沒想出來,看這邊好了 http://math.pro/db/viewthread.php?tid=969&page=4#pid3866

15. 對稱軸 x=4

16. q(x)=x^4+x+1,所求 =q(\sqrt{3})\cdot q(-\sqrt{3})

17. (1) 令 P(a,b,c) (2) P 點處,三面兩兩垂直
(3) 直徑 \overline{OP} (4) 用體積,和空間中的面積版的畢氏定理

99屏北高中數學教甄

Posted: 2012 年 06 月 16 日 in 教甄, 教甄99, 數學
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題目見MathPro,並感謝 weiye 老師重新排版題目

1. 截距式、算幾不等式

2. 牛頓定理

3. 費馬點

4. x+y^2=x+1-x^2, 配方

清華原住民教育實驗專班

1. 令 t=\log_3x

2. 柯西

3. 三角形面積=\frac12ab\sin\theta

4. 計算距離可得 \sin\theta=\frac15, \sin3\theta=\frac{7}{125}, 所以 6\to 6\cdot(-\frac{7}{25}) 就是答案

5. 方向向量伸縮成長度相等,相加減

6. 不會,參考 mathpro 老王老師的解法 http://math.pro/db/viewthread.php?tid=937&page=3#pid2975

7. \frac{m}{n} 拆成 m 去配對相減

8. 不會,又倒了…請參考 http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=1372(已失效)

2013.11.02 補充解法:令 \overline{AC}=x ,由 D 作 \overleftrightarrow{AB} 的垂線,交 \overleftrightarrow{AB} 於 E 點則,\overline{BE}=\frac{1}{x} (由 \cos A=\frac{1}{x}

\angle EDB=\angle CBD=30^{\circ}\Rightarrow\overline{BD}=\frac{2}{x}

再由畢氏定理得 \overline{DE}^{2}=\frac{3}{x^{2}}=(x+1)^{2}-(1+\frac{1}{x})^{2}\Rightarrow(x+2)(x^{3}-2)=0\Rightarrow x=\sqrt[3]{2}

9. 遞迴 P_{n+1}=\frac56+\frac16(1-P_n)

99彰化藝術高中數學教甄

Posted: 2012 年 06 月 16 日 in 教甄, 教甄99, 數學
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題目

1. 等比中項,解 a =-\frac14\log_2 3, 兩項相除即得 r

2. 類費波那契數列,考慮其為前兩項 x,y, 由 a_7 可得 5x+8y=120

解一唯一組符合條的 (x,y)=(8,10)

3. 令 t=10^x 其兩根大於 1。但 k=25, 時算不算兩根呢?

4. 二項式定理,x=(x+1)-1

5.  f(3x+1)=c(x-2)(x-1)(x+1), c>0, 令 x=\frac23t+\frac23

6. f(30)+f(33)+\ldots+f(93)=30^2+36^2+\ldots+90^2, 和 f(33)+f(36)+\ldots+f(90)=33^2+39^2+\ldots+87^2 相減,即得

7. (4\sqrt{2}.8\sqrt{2})+(4\sqrt{5},4\sqrt{5}) 直線的方向

8. 延伸 AIBCF, 由分角線和分點公式(多用幾次)可得 \frac{AI}{AF}=\frac{7+9}{7+8+9}

9. 特徵多項式是零多項式

10. 上下兩個正五,中間接五個正方形,共 10 個頂點

11. 可參考 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_03/page2.html

12. 全換 \sin x=t

13. 只有 \frac1{13} 有用

14. PL 旋轉使得 P,\,Q,\,L 共平面,就變平面版的問題了

15. 解出 a=-6,\,b=9 就不想做了

16. 切線公式+廣義柯西

17. 廣義柯西等號成立

18. 分母可以分解

19. 令 x=1+t, 二項式定理

20. \sec^2x=\tan^2x+1=t^2+1

99建國中學數學教甄

Posted: 2012 年 06 月 16 日 in 教甄, 教甄99, 數學
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題目

一、填充題

1. 2^{16}+2^{19}=(3\cdot 2^8)^2, 該完全平方數為 k^2,再加平方差分解得 (k+768)(k-768)=2^n,
k 為奇數,n 必為 0 不合。如此可推至 2^8\mid k

2. 由 a_{44} 可算出公比 r 再推出所有公差,而S 是一個差比級數

3. 不旁設 a=1, 矩形長寬是 x,\, y, 由相似形可解出 x=\frac{b^{2}}{b^{2}+b-1}, y=\frac{b^{2}-b}{b^{2}+b-1} 所以 m=\frac{y}{b}=\frac{b-1}{b^{2}+b-1}

4. 可以去看看數學傳播-函數 y=a^x 與 y=log_a x 的圖形交點個數的探索

http://w3.math.sinica.edu.tw/media/media.jsp?voln=284

5. H^n_{10}=C^{n+9}_{10}

而 C 的關係可由 (1+x)^{n+9}=(1+x)^9(1+x)^n 的展開式得到

6. 以極坐標寫之可得 r=6(1+\cos\theta),

利用餘弦定理可計算曲線到 (8,0) 之距離平方 d(\theta)^{2}=-60(\cos\theta+\frac{1}{5})^{2}+\frac{512}{5}

再分兩個區間裡,使得在各別區間中 d 有單調性可以計算交點數了

7. 貝氏定理

8. 壓扁成圓就是正三角,就拉回來

9. 令 x=\cos\frac{2\pi}{7}+i\sin\frac{2\pi}{7}, 則 x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0y=x+\frac1x=2\cos\frac{2\pi}{7}

y 滿足 y^3+y^2-2y-1,然後慢慢勘根吧

計算 1. a_{n+2}=3a_{n-2}+2a_{n-1}, 特徵值 3,\,-1

計算 3. 平面 E 包含 LP, 所求圖形即 E 和球面 S 的相交(扣除 P)

99建中市內數學教甄

Posted: 2012 年 06 月 03 日 in 教甄, 教甄99, 數學
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題目 ?其實寸絲也不知道這份是什麼?

1. \tan 合角,兩倍角,算一算

2.  直線之上的相鄰兩個格子點的的間距為 (21,-13)。可以考慮在第一象限中,直線上最左邊的格子點的位置

3. 以 k 為最大元素的子集有 2^{k-1} 個,列式求平均恰為差比級數

4. 寫成黎曼和,轉積分

5. A, B 經度剛好差 180,所以 A, B 北極、南極共圓(而且半徑是 R)

6. 光走最短距離,或者用數學寫就是三角不等式

計算題

1. (1) \cos C\cos A 好像要換一下位置。
而 H 點那個位置的六個角,角度剛好是 \angle A,\, B,\, C 各出現兩次。

1. (2)  承 (1) 化簡成 \frac{\cos^2 A+\cos^2 B+\cos^2 C}{\cos A\cos B \cos C}
分子柯西,分母算幾得大於等於 \frac{9}{\cos A+\cos B+\cos C} 再用 \cos concave in [0, \frac{\pi}{2}]

2. f(0)>0 \wedge f(1)<0

3. 勘根加微分

 

99松山工農數學教甄

Posted: 2012 年 06 月 01 日 in 教甄, 教甄99, 數學
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題目

1. 可用切線找極點,但局部最小不等於全域極小,所以之後要小心檢驗

3. 變數代換 t =\log_2 \frac{a}{a+1},其它還要注意真數為正

5. \omega^2 = -\omega - 1

8. (1) 右式平方,交叉項柯西,大於等於得左式平方

(2) 算幾 \frac{1+2+3+\ldots+n}{n} \geq \sqrt[n]{n}