九月, 2011 的封存

98家齊女中數學教甄

Posted: 2011 年 09 月 30 日 in 教甄, 教甄98, 數學
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題目

昨天寫好放在抽屜裡的東西,今天把它補上來。

這份題,填充三、四題好煩人…

第三題,看圖,有點小不嚴謹。

而第四題,分太多情形了,應該有好一些的方法。

數學補補站 bugmens 用的表格,這是妙招。

而填充五,乍看之下,以為是輾轉相除,其實不然,

記得之前做過某題,就是傻傻的把除下去了,現在想起來了,應該也是玩這樣才對。

計算1 討論好麻煩,分數又好少,愛考微積分,又不愛給分…

計算3,4 出乎意外的題目,在這竟然會出現這種題目…

廢話到此結束,正經地留下做過的痕跡才是重點。

解答

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井水不犯河水

Posted: 2011 年 09 月 28 日 in 數學

前幾天在  ptt math 版,看到學弟們受高微催殘(雖然不見得是我的學弟)

內容就是一堆符號,誰是井水,誰是河水傻傻分不清…

言者諄諄,聽者藐藐,抄下來的筆記自然像是天書一樣。

內容令人難以入眼。只好憑空想像:大概是怎麼一回事,以下為想像

在證實數學完備性的時候,用遞增有理數列建構(定義)實數。

用共同上界的方式來定義實數等於、大於、小於。

如此要證實數完備性就是證遞增有上界實數列,有上確界(實數系中)。

然後就拿一個遞增有上界實數列,每個實數又是一個遞增有上界有理數列。

於是似…玩一些操作(當然要用要大於的定義),從那一群有理數中,有技巧地取一個有理數列。

最後就證那個有理數列,遞增有界是上界,而且比任何上界小。就完工。

問題是「言者諄諄,聽者藐藐」,上課必然有聽沒什懂,筆記也不會抄下,像我寫的這些東西。

事情就是,看筆記時,一堆符號…一時也分不清哪邊是井水(有理數)哪邊是河水(實數),要順著邏輯,才看分得清楚。

符號好好寫,希臘字母和英文區分實數世界和有理數世界,那就完結了啊。

其實標題應該換成「井水大戰河水」才對,記得之前線性代數的學生進到向量空間,就開始莫名其妙的河水、河水會流,問問題的時候,句子本身就是一個問題。舉一個最近在 math 版看到的類似敘述:二維向量空間中存在一個三角形ABC。這莫名其妙麻,向量空間裡哪來的三角形,明明就是歐氏空間。傻傻分不清,把向量空間當歐氏空間,向量空間沒有內積,或是內積空間其內積另有定義,然後可能就自己莫名其妙地仿歐內積算得很高興…然後問你為什麼這樣算不對…簡直莫名其妙。

98高雄市聯招數學教甄

Posted: 2011 年 09 月 28 日 in 教甄, 教甄98, 數學
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先來份題目

第一題,用 Euler phi function,不知道的話就用排容原理吧。

第二題,Riemann integral

第三題,好好玩…解,好玩的是 Q。

第四題有妙解哦…提示先從空的開始做,先放小的再依次放大…就會發現…悟吧

第五題,ㄟ害…我反應到線性規劃去了…

只依稀記得如果是  contraint 的要令新的變數,結果…

就在線性規劃裡…,其實它是最簡單的線性規劃,才兩個 conner 而已…

我幹麻去高維度的線性規劃,畫表格那招要怎麼招…真是笨蛋一顆!

第六題,選好變數,一切都沒問題。

感謝網友 weni 指出筆誤,附檔中應修正成 r = \cos x,

而有最大體積之時, r= \sqrt{\frac23}, 但最大體積不變

第七題,這個解法是之前看來的,憑印象翻出來,果然題目一模一樣。

剛剛想到,第七題耍笨了,三角不等式就秒殺了,為何要在那柯西呢…莫名奇妙

第八題,無聊的題目,沒啥好說的。

證明第二題,基本題,無聊沒事做,拿 Heron’s formula 來硬暴(笑~~)

證明第一題,請看另一篇

手邊沒答案,有些不知道有沒有計算錯誤,

反正方法都是對的,計算錯誤就隨它去吧。

10.15  更新 解答

98台北縣聯招數學教甄

Posted: 2011 年 09 月 26 日 in 教甄, 教甄98, 數學
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題目

這份題目前半段,都蠻好做的。

連分數那題,還蠻好玩的,但是是不是要補上唯一性的東西,

不過 somehow 應該就是連分數唯一性那回事。

到計算題開始,就麻煩了。

計算1:米洛把我敲醒了…

計算2 方法來自 數學補給站 bugmens 的妙解。

解答

一題不等式

Posted: 2011 年 09 月 25 日 in 數學

試證 \prod\limits_{k=1}^{n} \frac{2k-1}{2k}< \frac{1}{\sqrt{2n+1}}

證1:(\prod\limits_{k=1}^{n} \frac{2k-1}{2k})^2< \prod\limits_{k=1}^{n} \frac{(2k-1)^2}{(2k)^2-1}
然後平方差,消光光,得到平方後 < \frac{1}{2n+1}。開根號得證。

證2:補上奇數項 \prod\limits_{k=2}^{2n+1} \frac{k-1}{k}=\frac{1}{2n+1}

偶數項小於奇數項,所以偶項之積小於 \frac{1}{\sqrt{2n+1}}

如果只處理後面,留下前幾項,不動,可以得到更好的估計。

法2 中偶前奇後配對,所以是估到小於的。

也先拿掉第一個偶項,然後奇前偶後,就可以估計下界,再補上第一個偶項。

即如下:

\prod\limits_{k=2}^{n} \frac{2k-1}{2k} >\sqrt{\prod\limits_{k=3}^{2n} \frac{k-1}{k}}=\sqrt{\frac{1}{n}}

所以得 \prod\limits_{k=1}^{n} \frac{2k-1}{2k}> \frac{1}{2\sqrt{n}}

98中興高中數學教甄

Posted: 2011 年 09 月 25 日 in 教甄, 教甄98, 數學
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98中興高中

這份不難。

感謝壞人,點醒了寸絲第四題。

解答

98新港藝術高中數學教甄

Posted: 2011 年 09 月 24 日 in 教甄, 教甄98, 數學
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http://math.pro/db/thread-938-1-11.html

第二題,孟氏定理,算是基本…

第三題,我想應該沒人會去找除以 33 的循環吧,只好玩數論,

各別算除以 3 和 除 11 的餘數,再拼起來。

第五題,實在懶得整理結果,但是答案好像很漂亮是 C^{n+3}_4,應該會很妙的解。

第六題,印象中有另一招算微分和原式相除的方法,

數學內容部分,要用 Taylor 展開。

第七題,一開始被騙了,以為想到代數裡去…算是一個高次的整系數…

第九題,幾何一點的看法好像蠻有意思的,不知道暴力的話,會不會很醜

第十五題,感覺很醜,東弄西弄的,好不容易終於一個比較漂亮的了,

結果兩個根,還要檢查,麻煩的東西。

計算題就不提了,有閒的人,自己看

解答

98師大附中數學教甄

Posted: 2011 年 09 月 23 日 in 教甄, 教甄98, 數學
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http://math.pro/db/thread-735-1-11.html

這份題目好難寫…

第二題幾何的東西,我真的退化到做不出來了

請參考 老王的部落格

第六題的方法是從 老王的部落格 看來的,又學一招了。

硬分解,湊出那個型,真是妙招…平常只會一些很明顯的型而已,這裡這樣玩,著實好玩…

第八題,差和分 Telescoping series 硬幹,應該沒人像寸絲這樣吧?

數學補給站 bugmens 排列組合的方法,顯然比在下高明。

就這樣了

解答 更正,第八題是孟氏定理而非西瓦。

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最近第六題這類的題目玩出新招了…

將一多項式的根,代入另一多項式相乘,如果用根來表示的話即是 \prod (\alpha_i-\beta_j) 再乘上一個正負號及常數。其中 \alpha_i,\beta_j 皆別為兩多項式的根。

讓常數由首數係數決定,正負號則由多項式的次數決定。

所以可以改成將次數小 x^2-x-1=0 代入次數大的。

x^{12}+7x^{11}+1 = (x^2-x+1)q(x) - 7x +9.

所以所求等於 (-7\beta_1+9)(-7\beta_2+9) = 49\cdot(\frac{81}{49}-\frac{9}{7}+1)=81-63+49=67.

98南科雙語部數學教甄

Posted: 2011 年 09 月 19 日 in 教甄, 教甄98, 數學
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http://math.pro/db/thread-818-1-12.html

以上是題目這份題目,沒有特別難的題目。

大都是基本的紥實的題目,寫起來很順手。

以下是答案

解答

98內湖高工數學教甄

Posted: 2011 年 09 月 18 日 in 教甄, 教甄98, 數學
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題目

這份題目算探相檔容易的,不過有考到一點微積分。

後面有三次方程的 Cardano 公式,當然題目有說也可以算幾似值。

有一題圖的就懶得畫了。

解答