九月, 2011 的封存

98家齊女中數學教甄

Posted: 2011 年 09 月 30 日 in 教甄, 教甄98, 數學
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題目

昨天寫好放在抽屜裡的東西，今天把它補上來。

這份題，填充三、四題好煩人…

第三題，看圖，有點小不嚴謹。

而第四題，分太多情形了，應該有好一些的方法。

數學補補站 bugmens 用的表格，這是妙招。

而填充五，乍看之下，以為是輾轉相除，其實不然，

記得之前做過某題，就是傻傻的把除下去了，現在想起來了，應該也是玩這樣才對。

計算1 討論好麻煩，分數又好少，愛考微積分，又不愛給分…

計算3,4 出乎意外的題目，在這竟然會出現這種題目…

廢話到此結束，正經地留下做過的痕跡才是重點。

解答

井水不犯河水

Posted: 2011 年 09 月 28 日 in 數學
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前幾天在  ptt math 版，看到學弟們受高微催殘(雖然不見得是我的學弟)

內容就是一堆符號，誰是井水，誰是河水傻傻分不清…

言者諄諄，聽者藐藐，抄下來的筆記自然像是天書一樣。

內容令人難以入眼。只好憑空想像：大概是怎麼一回事，以下為想像

在證實數學完備性的時候，用遞增有理數列建構(定義)實數。

用共同上界的方式來定義實數等於、大於、小於。

如此要證實數完備性就是證遞增有上界實數列，有上確界(實數系中)。

然後就拿一個遞增有上界實數列，每個實數又是一個遞增有上界有理數列。

於是似…玩一些操作(當然要用要大於的定義)，從那一群有理數列中，有技巧地取一個有理數列。

最後就證那個有理數列，遞增有界是上界，而且比任何上界小。就完工。

問題是「言者諄諄，聽者藐藐」，上課必然有聽沒什懂，筆記也不會抄下，像我寫的這些東西。

事情就是，看筆記時，一堆符號…一時也分不清哪邊是井水(有理數)哪邊是河水(實數)，要順著邏輯，才看分得清楚。

符號好好寫，希臘字母和英文區分實數世界和有理數世界，那就完結了啊。

其實標題應該換成「井水大戰河水」才對，記得之前線性代數的學生進到向量空間，就開始莫名其妙的河水、河水會流，問問題的時候，句子本身就是一個問題。舉一個最近在 math 版看到的類似敘述：二維向量空間中存在一個三角形ABC。這莫名其妙麻，向量空間裡哪來的三角形，明明就是歐氏空間。傻傻分不清，把向量空間當歐氏空間，向量空間沒有內積，或是內積空間其內積另有定義，然後可能就自己莫名其妙地仿歐內積算得很高興…然後問你為什麼這樣算不對…簡直莫名其妙。

98高雄市聯招數學教甄

Posted: 2011 年 09 月 28 日 in 教甄, 教甄98, 數學
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先來份題目

第一題，用 Euler phi function，不知道的話就用排容原理吧。

第二題，Riemann integral

第三題，好好玩…解，好玩的是 Q。

第四題有妙解哦…提示先從空的開始做，先放小的再依次放大…就會發現…悟吧

第五題，ㄟ害…我反應到線性規劃去了…

只依稀記得如果是  contraint 的要令新的變數，結果…

就在線性規劃裡…，其實它是最簡單的線性規劃，才兩個 conner 而已…

我幹麻去高維度的線性規劃，畫表格那招要怎麼招…真是笨蛋一顆！

第六題，選好變數，一切都沒問題。

感謝網友 weni 指出筆誤，附檔中應修正成 r = \cos x,

而有最大體積之時, r= \sqrt{\frac23}, 但最大體積不變

第七題，這個解法是之前看來的，憑印象翻出來，果然題目一模一樣。

剛剛想到，第七題耍笨了，三角不等式就秒殺了，為何要在那柯西呢…莫名奇妙

第八題，無聊的題目，沒啥好說的。

證明第二題，基本題，無聊沒事做，拿 Heron’s formula 來硬暴(笑~~)

證明第一題，請看另一篇。

手邊沒答案，有些不知道有沒有計算錯誤，

反正方法都是對的，計算錯誤就隨它去吧。

10.15  更新 解答

98台北縣聯招數學教甄

Posted: 2011 年 09 月 26 日 in 教甄, 教甄98, 數學
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題目

這份題目前半段，都蠻好做的。

連分數那題，還蠻好玩的，但是是不是要補上唯一性的東西，

不過 somehow 應該就是連分數唯一性那回事。

到計算題開始，就麻煩了。

計算1：米洛把我敲醒了…

計算2 方法來自 數學補給站 bugmens 的妙解。

解答

一題不等式

Posted: 2011 年 09 月 25 日 in 數學
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試證 \prod\limits_{k=1}^{n} \frac{2k-1}{2k}< \frac{1}{\sqrt{2n+1}}。

證1：(\prod\limits_{k=1}^{n} \frac{2k-1}{2k})^2< \prod\limits_{k=1}^{n} \frac{(2k-1)^2}{(2k)^2-1}。
然後平方差，消光光，得到平方後 < \frac{1}{2n+1}。開根號得證。

證2：補上奇數項 \prod\limits_{k=2}^{2n+1} \frac{k-1}{k}=\frac{1}{2n+1}

偶數項小於奇數項，所以偶項之積小於 \frac{1}{\sqrt{2n+1}}。

如果只處理後面，留下前幾項，不動，可以得到更好的估計。

法2 中偶前奇後配對，所以是估到小於的。

也先拿掉第一個偶項，然後奇前偶後，就可以估計下界，再補上第一個偶項。

即如下：

\prod\limits_{k=2}^{n} \frac{2k-1}{2k} >\sqrt{\prod\limits_{k=3}^{2n} \frac{k-1}{k}}=\sqrt{\frac{1}{n}}。

所以得 \prod\limits_{k=1}^{n} \frac{2k-1}{2k}> \frac{1}{2\sqrt{n}}

98中興高中數學教甄

Posted: 2011 年 09 月 25 日 in 教甄, 教甄98, 數學
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98中興高中

這份不難。

感謝壞人，點醒了寸絲第四題。

解答

98新港藝術高中數學教甄

Posted: 2011 年 09 月 24 日 in 教甄, 教甄98, 數學
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http://math.pro/db/thread-938-1-11.html

第二題，孟氏定理，算是基本…

第三題，我想應該沒人會去找除以 33 的循環吧，只好玩數論，

各別算除以 3 和 除 11 的餘數，再拼起來。

第五題，實在懶得整理結果，但是答案好像很漂亮是 C^{n+3}_4，應該會很妙的解。

第六題，印象中有另一招算微分和原式相除的方法，

數學內容部分，要用 Taylor 展開。

第七題，一開始被騙了，以為想到代數裡去…算是一個高次的整系數…

第九題，幾何一點的看法好像蠻有意思的，不知道暴力的話，會不會很醜

第十五題，感覺很醜，東弄西弄的，好不容易終於一個比較漂亮的了，

結果兩個根，還要檢查，麻煩的東西。

計算題就不提了，有閒的人，自己看

解答

98師大附中數學教甄

Posted: 2011 年 09 月 23 日 in 教甄, 教甄98, 數學
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http://math.pro/db/thread-735-1-11.html

這份題目好難寫…

第二題幾何的東西，我真的退化到做不出來了

請參考 老王的部落格。

第六題的方法是從 老王的部落格 看來的，又學一招了。

硬分解，湊出那個型，真是妙招…平常只會一些很明顯的型而已，這裡這樣玩，著實好玩…

第八題，差和分 Telescoping series 硬幹，應該沒人像寸絲這樣吧？

數學補給站 bugmens 排列組合的方法，顯然比在下高明。

就這樣了

解答 更正，第八題是孟氏定理而非西瓦。

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最近第六題這類的題目玩出新招了…

將一多項式的根，代入另一多項式相乘，如果用根來表示的話即是 \prod (\alpha_i-\beta_j) 再乘上一個正負號及常數。其中 \alpha_i,\beta_j 皆別為兩多項式的根。

讓常數由首數係數決定，正負號則由多項式的次數決定。

所以可以改成將次數小 x^2-x-1=0 代入次數大的。

而 x^{12}+7x^{11}+1 = (x^2-x+1)q(x) - 7x +9.

所以所求等於 (-7\beta_1+9)(-7\beta_2+9) = 49\cdot(\frac{81}{49}-\frac{9}{7}+1)=81-63+49=67.

98南科雙語部數學教甄

Posted: 2011 年 09 月 19 日 in 教甄, 教甄98, 數學
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http://math.pro/db/thread-818-1-12.html

以上是題目這份題目，沒有特別難的題目。

大都是基本的紥實的題目，寫起來很順手。

以下是答案

解答

98內湖高工數學教甄

Posted: 2011 年 09 月 18 日 in 教甄, 教甄98, 數學
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題目

這份題目算探相檔容易的，不過有考到一點微積分。

後面有三次方程的 Cardano 公式，當然題目有說也可以算幾似值。

有一題圖的就懶得畫了。

解答

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