三月 | 2012 | 方寸之地

三月, 2012 的封存

100陽明高中數學教甄

Posted: 2012 年 03 月 24 日 in 教甄, 教甄100, 數學
標籤：100教甄, 教甄

題目請見Mathpro

1. 用了笨方法，令 $x^2+y^2+z^2=1$ 然後 Lagrange’s multiplier method.

2. 奇函數，平方去根號處理。

3. 對稱的，任考慮一象限，去絕對值，微分之。

4. 餘弦定理

6. 不知道有沒有更簡潔的討論.

7. 設直線方程式 $x=my+b$ 聯立拋物線方程，令其兩根為 $\alpha,\, \beta$ 。

用 $\alpha,\, \beta$ 計算面積可得 $|\alpha - \beta|= \sqrt[3]{4}$

再和根與係數關係聯立，可解得 $\alpha, \, \beta, \, b$ 以 $m$ 表示，

轉換成方程式。

8. 拋物線，直線聯立解得兩根，算面積，得 $c=1$ .

100板橋高中數學教甄

Posted: 2012 年 03 月 24 日 in 教甄, 教甄100, 數學
標籤：100教甄, 教甄

題目請見美夢成真

1. (1) 棣美弗 (2) $\pm\sqrt{3}$ 代入四次式相乘。

2. (1) 如果正立方體的邊長和坐標軸平行，從對稱性，猜測該最大截面法向量 (1,1,1) 過中心點，是正六邊形。

3. $a_{n+2}=6a_{n+1}-4a_n$ 數數歸納法易證之。

4. 起點為南極，又或向東走時，繞地球好幾圈回到原點。

5. 邊長是 10。用正方體的邊長方向當坐標軸，但鉛直方向以 $\vec{n}=(a,b,c)$ 表示。

利用分量或內積可得 a,b,c 之關係，便可推得 A 之高度。

6. 11212…12 插入 33 個 0，但首位不插，所以 $H^{67}_{33}(34!)(33!)^2$ 。

7. 題目有修正成至少有一集合包含 a,b,c 滿足 ab=c 才合理，不過是否有 a,b,c 相異之條件，答案會不同。

8. 可慮內心。外心在某些情況也可以，但外心如果跑到三角形外時，便不行了。

10. 以 $\overline{BC'}$ 為軸，將 C 轉到 $A'C'B$ 所在之平面。

2(2). 11 還做不出來，做完之後再來補檔案

100育成高中數學教甄

Posted: 2012 年 03 月 24 日 in 教甄, 教甄100, 數學
標籤：100教甄, 教甄

題目請見Mathpro

3. 連除法，但要小心， 5 的因子位置會改變，有時要進位而非捨去。

5. 用 $a_n$ 把1-n 搬到 C, 再把 n+1 把到 B, 再用 $a_n$ 把 1-n 搬回 A

再把 n+1 搬到 C, 最後再以 $a_n$ 把 1-n 又搬到 C，所以是 $a_{n+1}=3a_n+2$ 。

9. 配方，光學性，或兩點直線距離最短。

11. 蠻新鮮的一題，關於拋物線的，常常都用代數符號，玩來玩去，而避免去去解二次方程。

100卓蘭實中數學教甄

Posted: 2012 年 03 月 24 日 in 教甄, 教甄100, 數學
標籤：100教甄, 教甄

題目請見Mathpro

填充題

1. 每 10 項相加，為新的等差數列 a, 3a, 5a,7a, 9a 所答案 25a。

6. 若 $x+y=1$ , 則 $f(x)+f(y)=1$ 。

7. 連除法，轉換二進立。

9. 設最小角為 $\theta$ ，用正弦定理加等差中項，約掉一個 $\sin \theta$

解二次方程得 $\sin\theta,\, \cos\theta$ 。

10. $x^4+18^2=[(x-3)^2+9][(x+3)^2+9]$ ，然後相消。

增加第九題正弦+餘弦的方法 (3/26)

100成德高中數學教甄

Posted: 2012 年 03 月 24 日 in 教甄, 教甄100, 數學
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題目請見Mathpro

填充題

8. 楕圓 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ 和 $y=1$ 的交點。

9. $\frac{n(n+1)}{2}\geq 2007$ 且 $n$ 為最小正整數滿足該式。

10. 4 個三角形面積是相等的。

演算題

2. $n=1,\, n=2$ ，取最大公因數得 14，易證之。

3. (2) 可歸謬證之，利用邊長和對角線的平分比為無理數。

4. 點對稱，或者線性變換成正方形