三月, 2012 的封存

100陽明高中數學教甄

Posted: 2012 年 03 月 24 日 in 教甄, 教甄100, 數學
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題目請見Mathpro

1. 用了笨方法,令 x^2+y^2+z^2=1 然後 Lagrange’s multiplier method.

2. 奇函數,平方去根號處理。

3. 對稱的,任考慮一象限,去絕對值,微分之。

4. 餘弦定理

6. 不知道有沒有更簡潔的討論.

7. 設直線方程式 x=my+b 聯立拋物線方程,令其兩根為 \alpha,\, \beta

\alpha,\, \beta 計算面積可得 |\alpha - \beta|= \sqrt[3]{4}

再和根與係數關係聯立,可解得 \alpha, \, \beta, \, bm 表示,

轉換成方程式。

8. 拋物線,直線聯立解得兩根,算面積,得 c=1.

解答

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100板橋高中數學教甄

Posted: 2012 年 03 月 24 日 in 教甄, 教甄100, 數學
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題目請見美夢成真

1. (1) 棣美弗 (2) \pm\sqrt{3} 代入四次式相乘。

2. (1) 如果正立方體的邊長和坐標軸平行,從對稱性,猜測該最大截面法向量 (1,1,1) 過中心點,是正六邊形。

3. a_{n+2}=6a_{n+1}-4a_n 數數歸納法易證之。

4. 起點為南極,又或向東走時,繞地球好幾圈回到原點。

5. 邊長是 10。用正方體的邊長方向當坐標軸,但鉛直方向以 \vec{n}=(a,b,c) 表示。

利用分量或內積可得 a,b,c 之關係,便可推得 A 之高度。

6. 11212…12 插入 33 個 0,但首位不插,所以 H^{67}_{33}(34!)(33!)^2

7. 題目有修正成至少有一集合包含 a,b,c 滿足 ab=c 才合理,不過是否有 a,b,c 相異之條件,答案會不同。

8. 可慮內心。外心在某些情況也可以,但外心如果跑到三角形外時,便不行了。

10. 以 \overline{BC'} 為軸,將 C 轉到 A'C'B 所在之平面。

2(2). 11 還做不出來,做完之後再來補檔案

解答

100育成高中數學教甄

Posted: 2012 年 03 月 24 日 in 教甄, 教甄100, 數學
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題目請見Mathpro

3. 連除法,但要小心, 5 的因子位置會改變,有時要進位而非捨去。

5. 用 a_n 把1-n 搬到 C, 再把 n+1 把到 B, 再用 a_n 把 1-n 搬回 A

再把 n+1 搬到 C, 最後再以 a_n 把 1-n 又搬到 C,所以是 a_{n+1}=3a_n+2

9. 配方,光學性,或兩點直線距離最短。

11. 蠻新鮮的一題,關於拋物線的,常常都用代數符號,玩來玩去,而避免去去解二次方程。

解答

100卓蘭實中數學教甄

Posted: 2012 年 03 月 24 日 in 教甄, 教甄100, 數學
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題目請見Mathpro

填充題

1. 每 10 項相加,為新的等差數列 a, 3a, 5a,7a, 9a 所答案 25a。

6. 若 x+y=1, 則 f(x)+f(y)=1

7. 連除法,轉換二進立。

9. 設最小角為 \theta,用正弦定理加等差中項,約掉一個 \sin \theta

解二次方程得 \sin\theta,\, \cos\theta

10. x^4+18^2=[(x-3)^2+9][(x+3)^2+9],然後相消。

解答

增加第九題正弦+餘弦的方法 (3/26)

100成德高中數學教甄

Posted: 2012 年 03 月 24 日 in 教甄, 教甄100, 數學
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題目請見Mathpro

填充題

8. 楕圓 \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1y=1 的交點。

9. \frac{n(n+1)}{2}\geq 2007n 為最小正整數滿足該式。

10. 4 個三角形面積是相等的。

演算題

2. n=1,\, n=2,取最大公因數得 14,易證之。

3. (2) 可歸謬證之,利用邊長和對角線的平分比為無理數。

4. 點對稱,或者線性變換成正方形

解答